Các số đặc trưng

Đối với các biến ngẫu nhiên nếu có bảng phân phối (hoặc hàm phân phối) thì coi như có sự hiểu biết đầy đủ về biến.

Trong một số vấn đề không cần phải biết đầy đủ như vậy mà chỉ cần biết một số số đặc trưng cho dãy phân phối về một khía cạnh nào đó.

Người ta chia các số đặc trưng thành 2 nhóm: nhóm đặc trưng cho vị trí và nhóm đặc trưng cho độ phân tán.

Nhóm đặc trưng cho vị trí gồm một số số như: kì vọng, trung vị, mod, tứ phân vị dưới, tứ phân vị trên ...

Nhóm đặc trưng cho độ phân tán (hay còn gọi là đặc trưng cho độ tập trung) gồm phương sai, độ lệch chuẩn, biên độ, hệ số biến động, ...

Kỳ vọng

Ý nghĩa kỳ vọng :

- Kỳ vọng toán phản ánh giá trị trung tâm của phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên.

- Trong kinh tế, kỳ vọng toán đồng thời mang 2 ý nghĩa:

+ Nếu xét trong 1 số lớn phép thử tương tự thì nó phản ánh giá trị trung bình.

+ Nếu xét trong 1 phép thử đơn lẻ thì nó phản ánh giá trị mong đợi.

Cho X là đại lượng ngẫu nhiên với hàm xác suất (hàm mật độ xác suất) f(x) và u(X) là một hàm theo biến số ngẫu nhiên X. Kỳ vọng của u(X) được xác định là

E[u(X)] =  $\sum _i$u(x_i)f(x_i)  khi X là biến ngẫu nhiên rời rạc.

E[u(X)] = ${\int }_{-\infty }^{+\infty }$u(x)f(x)dx  khi X là biến ngẫu nhiên liên tục.

Trung bình
Cho X là biến ngẫu nhiên với hàm xác suất (hàm mật độ xác suất) f(x), khi u(X)=X thì E(X) được gọi là trung bình của X, ký hiệu $\mu$_X, nghĩa là

E[X] =  $\sum _i$x_if(x_i) khi X là biến số ngẫu nhiên rời rạc, và

E[X] = ${\int }_{-\infty }^{+\infty }$xf(x)dx khi X là biến ngẫu nhiên liên tục.

Phương sai

Ý nghĩa phương sai :

- Phương sai phản ánh mức độ phân tán của các giá trị của biến ngẫu nhiên so với giá trị trung bình. Phương sai càng lớn: phân tán càng nhiều quanh giá trị trung bình còn phương sai càng nhỏ: giá trị càng tập trung quanh giá trị trung bình.

- Trong kinh tế, phương sai phản ánh mức độ rủi ro hay độ biến động (kém ổn định).

Cho X là biến ngẫu nhiên với hàm xác suất (hàm mật độ xác suất) f(x), khi đó với u(X)=(X - $\mu$_X)², thì E(X - $\mu$_X)² được gọi là phương sai của X, ký hiệu $\sigma$²_X hay var(X), nghĩa là

$\sigma$²_X = $\sum _i$(x_i-$\mu$_X)² f(x_i) khi X là biến số ngẫu nhiên rời rạc, và

$\sigma$²_X =  ${\int }_{-\infty }^{+\infty }$(x-$\mu$_X)² f(x)dx khi X là biến ngẫu nhiên liên tục.

Tính chất:

(i) var(C) = 0 với C là hằng số.

(ii) var(aX+bY) = a²var(X)+b²var(Y) (với a, b $\in$$\mathrm{ℝ}$ và X, Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập).

Mệnh đề

Cho X là biến số ngẫu nhiên với trung bình E(X). Ta có

var(X) = E(X)² - [E(X)]²

Độ lệch chuẩn

Độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu $\sigma$_X là căn bậc hai của phương sai.

$\sigma$_X = $\sqrt{{{\sigma }^2}_X}$

Chú ý: X, E X , $\sigma$_X có cùng đơn vị đo.

Ví dụ:

Biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất:

Tính trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của X.
Trung bình của X:

E(X) = 1.0,1 + 3.0,5 + 4.0,4 = 3,2.

Phương sai của X:

var(X) = (1 - 3,2)².0,1 + (3 - 3,2)².0,5 + (4 - 3,2)².0,4 = 0,76.

Độ lệch chuẩn của X:

$\sigma$_X = $\sqrt{0,76}$ $\approx$0,872.

Ví dụ:

Nhu cầu hàng ngày về rau sạch ở một khu dân cư có bảng phân phối xác suất.

Mỗi kg rau mua vào giá 2 ngàn đồng, bán ra 2 ngàn rưỡi. Song nếu bị ế phải bán 1 ngàn rưỡi mới hết. Hàng ngày nên đặt mua 22 kg hay 24 kg rau để bán thì tốt hơn.