Cách tính xác suất

Có rất nhiều cách tính xác suất, có cách tính chặt chẽ theo hệ tiên đề giúp xây dựng xác suất thành một ngành toán học với lí thuyết và ứng dụng phong phú, có cách tính trực quan hơn và dựa vào các môn học khác như tính xác suất theo Cơ học, theo Hình học, theo Đại số, ... Trong nội dung này chúng ta dùng hai cách tính xác suất: cách tính thống kê và cách tính đồng khả năng.

3.1. Cách tính thông kê

Xác định điều kiện đầu xong ta lặp lại phép thử nhiểu lần, càng nhiều càng tốt, ghi lại số lần thử n và số lần có sự kiện A, gọi là tần số n(A).

Tần suất của sự kiện A, kí hiệu là f(A) được tính theo công thức:

f(A) = $\frac{n\left(A\right)}{n}$ (2.2)

Tần suất không phải là xác suất nhưng nếu không có cách nào khác để tính xác suất thì lấy tần suất f(A) làm xác suất p(A).

Nếu có điều kiện làm hàng loạt phép thử và tính tần suất của sự kiện A trong các loạt đó, người ta thấy tần suất khá ổn định (khác nhau rất ít) và thường dao động quanh một sô' xác định. Khi số phép thử tăng lên (và khá lớn) thì biên độ (sai khác giữa tần suất và số nói trên) có khuynh hướng nhỏ dần và càng ngày càng ít xuất hiện các biên độ lớn. Số xác định nói trên được lấy làm xác suất.

Cách tính thống kê đơn giản, cho kết quả dễ hiểu, dễ giải thích, phù hợp với thực tế nhưng không chính xác và không thể dùng để tính xác suất trong những trường hợp phức tạp hoặc các trường hợp không thể trực tiếp lặp lại phép thử.

Trong thực tế, khi xem xét một số lượng lớn sản phẩm, chúng ta thường dùng phần trăm (%), thí dụ số học sinh thi đỗ là 90%, số sản phẩm đạt tiêu chuẩn là 75%, số người bị bệnh trong một đợt dịch là 30%... Theo cách tính thống kê có thể đổi % sang xác suất như sau: nếu số đạt tiêu chuẩn là p% thì khi chọn ngẫu nhiên một sản phẩm xác suất để sản phẩm đó đạt tiêu chuẩn là $\frac{P}{100}$. 

Cách tính thống kê đã được dùng từ xa xưa để tính xác suất sinh con trai, con gái, xác suất xuất hiện các hiện tượng lạ trong tự nhiên như lũ lụt, sóng thần, nhật thực, nguyệt thực, ...

Thí dụ 1

Để tính xác suất ra mặt sấp khi gieo một đồng tiền, ta có các kết quả sau, dao động quanh 0,5

Ở Trung Quốc, từ năm 228 trước Công nguyên, đã tìm thấy tần suất sinh con trai là $\frac{1}{2}$. Laplaxơ theo dõi các thành phố Luân Đôn, Pê-téc-bua và Bec-lin và công bố tần suất sinh con trai là $\frac{22}{43}$. Cramơ cho tần suất sinh con trai ở 43 Thuy Điển là 0,508. Ở Việt Nam năm 1961 tần suất sinh con trai là 0,51.

3.2. Cách tính cổ điển hay cách tính đồng khả năng

Tiến hành một phép thử và giả sử n kết quả (sự kiện sơ cấp) của phép thử có khả năng xuất hiện như nhau, gọi đó là phép thử có n kết quả đồng khả năng. Khi đó người ta lấy xác suất của mỗi kết quả là $\frac{1}{n}$.

Từ chấp nhận này có thể tính được xác suất p(A) của một sự kiện bất kì A như sau:

Nếu sự kiện A bao gồm (hay được tạo nên) bởi n(A) sự kiện sơ cấp thì:

P (A ) = $\frac{n\left(A\right)}{n}$ (2.3)

Cách tính đồng khả năng đơn giản, cho kết quả dễ hiểu, dễ giải thích, phù hợp với thực tế, nhưng không chặt chẽ và không thể dùng để tính xác suất trong những trường hợp phức tạp, hoặc các trường hợp không thể chấp nhận giả thiết đồng khả năng. Trong nhiều thí dụ, ở các phần sau chúng ta tính xác suất theo cách đồng khả năng và trong các bài tập cũng có rất nhiều bài tính xác suất theo cách đồng khả năng.

Thí dụ 3

Gieo một đồng tiền có thể coi hai kết quả sấp (S), ngửa (N), là 2 sự kiện sơ cấp đồng khả năng, mỗi sự kiện có xác suất $\frac{1}{2}$. Nếu gieo một lúc hai đồng tiền thì có thể coi 4 kết quả sau là đồng khả năng: (S, S), (S, N), (N, S), (N, N), mỗi sự kiện sơ cấp có xác suất $\frac{1}{4}$. Nếu gọi A là sự kiện "Hai đồng tiền cùng mặt" thì xác suất p(A) = $\frac{2}{4}$ = $\frac{1}{2}$ vì A gồm 2 sự kiện sơ cấp (S, S) và (N, N).

Thí dụ 4

Lai một cây đậu hoa vàng mang cặp gen trội AA với một cây đậu hoa trắng mang cặp gen lặn aa. Các cây đậu ở thế hệ F₁ có hoa màu vàng mang cặp gen Aa. Đem lai hai cây đậu thế hệ F₁ thì ở thế hệ F₂ các cây đậu mang một trong 4 kiểu gen: AA, Aa, aA, aa (gen đầu của bố, gen sau của mẹ), có thể coi 4 kiểu gen đồng khả năng, vậy mỗi kiểu gen có xác suất $\frac{1}{4}$. Kiểu hình hoa vàng bao gồm 3 kiểu gen AA, Aa, aA, do đó xác suất để cây đậu ở thế hệ F₂ có hoa vàng là $\frac{3}{4}$.

Thí dụ 5

Vé xổ số có bốn chữ số, khi quay số trúng thưởng có 1 vé trúng giải nhất. Tính xác suất để mua 1 vé thì vé đó sẽ trúng giải nhất. Có tất cả 10⁴ = 10000 vé bốn chữ số, có thể coi đó là 10000 kết quả đồng khả năng khi quay số trúng thưởng. Như vậy mỗi vé có xác suất trúng giải nhất như nhau và bằng $\frac{1}{10000}$.

Tính xác suất để vé trúng giải nhất là vé có bốn chữ sô' khác nhau. Trong 10000 vé có A⁴₁₀ = 10. 9 . 8 . 7 = 5040 vé có bốn chữ số khác nhau (vé xổ số có thể bắt đầu bằng số 0) như vậy xác suất để vé trúng giải nhất có bốn chữ số khác nhau là $\frac{5040}{10000}$ = 0,504.