Chỉnh hợp
Thí dụ 1:
Cửa hàng có 3 cái mũ màu xanh, đỏ, tím. Có 2 khách đến mua, cô bán hàng lấy lần lượt ra 2 cái mũ giao cho 2 khách, cái thứ nhất màu xanh, cái thứ hai màu đỏ, ta kí hiệu tắt kết quả này là (X, Đ), cũng có thể cái thứ nhất màu đỏ, cái thứ hai màu xanh (Đ, X), hoặc (X, T), (T, X), (Đ, T), (T, Đ). Ta gọi mỗi kết quả là một chỉnh hợp chập 2 trong 3 vật, có tất cả 6 chỉnh hợp chập 2 của 3 mũ. Có thể lập luận như sau: Cái mũ chọn đầu tiên là bất cứ mũ nào trong 3 mũ, như vậy có 3 cách chọn, sau đó có 2 cách chọn mũ thứ hai, như vậy có 3.2 = 6 cách chọn lần lượt 2 trong 3 mũ. Hai cách chọn (X, Đ) và (X, T) khác nhau vì có một mũ khác nhau, còn 2 cách chọn (X, Đ) và (Đ, X) thì khác nhau vẻ thứ tự chọn.
Thí dụ 2:
Một tổ có 10 người, chọn lần lượt 3 người đi làm việc, người thứ nhất là nhóm trưởng, người thứ hai theo dõi các chỉ tiêu kinh tế, người thứ ba theo dõi các chỉ tiêu kĩ thuật. Giả sử 10 người trong tổ có khả nãng làm việc như nhau thì có 10 cách chọn nhóm trưởng, sau đó có 9 cách chọn người phụ trách chỉ tiêu kinh tế và cuối cùng có 8 cách chọn người thứ ba. Gọi mỗi nhóm 3 người như vậy là một chỉnh hợp chập 3 của 10 người có tất cả 10.9.8 = 720 chỉnh hợp chập 3 của 10 người.
Hai nhóm khác nhau nếu có ít nhất một thành viên khác nhau hoặc thành viên của nhóm giống nhau nhưng thứ tự chọn khác nhau, do đó phân công công việc trong nhóm khác nhau.
Thí dụ 3:
Có 8 đội bóng chuyền vào chung kết. Có 3 đội sẽ được huy chương: một đội được huy chương vàng, một đội được huy chương bạc, một đội được huy chương đồng. Nếu 8 đội thực lực như nhau thì có thể có bao nhiêu dự báo vế danh sách bộ ba được huy chương? Ta lại lập luận như ở thí dụ 2, vì thực lực như nhau nên có thể có 8 cách dự báo đội được huy chương vàng, sau đó còn 7 cách dự báo đội được huy chương bạc, cuối cùng có 6 cách dự báo đội được huy chương đồng, như vậy tất cả có 8.7.6 = 336 chỉnh hợp chập 3 của 8 đội. Hai dự báo khác nhau nếu trong danh sách 3 đội được huy chương có ít nhất tên một đội khác nhau hoặc vẫn cùng tên 3 đội nhưng thứ tự khác nhau do đó có sự thay đổi tên đội tương ứng với loại huy chương.
Tổng quát. Có n vật khác nhau lấy lần lượt ra k vật, mỗi nhóm k vật như vậy được gọi là một chỉnh hợp chập k của n vật. Nếu vật nào cũng có khả năng được chọn như nhau thì có n cách chọn vật thứ nhất, (n - 1) cách chọn vật thứ hai......(n - k + 1) cách chọn vật thứ k. Tất cả có n(n - 1) ... (n - k + 1) chỉnh hợp chập k của n vật. Hai chỉnh hợp khác nhau nếu có ít nhất một vật khác nhau hoặc vật như nhau nhưng thứ tự lấy ra khác nhau.
Định nghĩa: Một nhóm k vật lấy lần lượt trong sô' n vật khác nhau gọi là một chỉnh hợp chập k của n vật. Số chỉnh hợp chập k của n vật, kí hiệu là , được tính theo công thức:
= n(n-1)...(n - k + 1) (1 k n ) (1.1)