Hệ sự kiện đầy đủ và xác suất toàn phần

Cho một hệ các sự kiện A₁, A₂, ... , A_n trong một phép thử. Nếu hệ thoả mãn hai điều kiện:

a) Từng đôi xung khắc, tức là A_i$\cap$A_j = Ø với i * j (i, j = $\overline{1, n}$ )

b) Hợp của tất cả các sự kiện là sự kiện tất yếu, tức là A₁$\cup$A₂ $\cup$ ... $\cup$ A_n = Ω thì được gọi là hệ đầy đủ hay hệ toàn phần.

Có thể trình bày lại hai điều kiộn trên dưới dạng: Có một và chỉ một trong các sự kiện A_i xảy ra khi tiến hành phép thử. (Có một là điều kiện b|, còn chỉ có một là điều kiện a|).

Khi có một hệ sự kiện đầy đủ thì có thể tính xác suất của một sự kiện bất kì B trong phép thử đó theo công thức:

p(B) = p(A₁)p(B|A₁) + p(A₂)p(B|A₂) + ... + p(A_n)p(B|A_n) (2.9)

p(B)= $\sum _{i=1}^n$ p (A_i)p (B|A_i)

Thí dụ 28

Cửa hàng nhận trứng của 3 cơ sở nuôi gà theo tỉ lệ: 25%, 35% và 40%. Nếu tỉ lệ trứng hỏng của 3 cơ sở là 5%, 4% và 2% thì xác suất để một quả trứng mua tại cửa hàng bị hỏng là bao nhiêu?

Khi mua một quả trứng của cửa hàng thì có một và chỉ một trong 3 sự kiện xảy ra: sự kiện A₁ "trứng của cơ sở I ", sự kiện A₂ "trứng của cơ sở II", sự kiện A₃ "trứng của cơ sở III". Xác suất của ba sự kiện trên lần lượt là: 0,25; 0,35; 0,40.

Gọi B là sự kiện trứng mua ở cửa hàng bị hỏng. Xác suất trứng hỏng tại ba cơ sở lần lượt là p(B|A₁) = 0,05; p(B|A₂) = 0,04; p(B|A₃) = 0,02

p(B) = 0,25 . 0,05 + 0,35 . 0,04 + 0,40 . 0,02 = 0,0345.

Thí dụ 29

Có 2 hộp bên ngoài giống nhau, hộp thứ nhất đựng 1 sản phẩm hỏng và 9 sản phẩm tốt, hộp thứ hai chứa 2 sản phẩm hỏng và 8 sản phẩm tốt. Lấy ngẫu nhiên một hộp, sau đó lấy ngẫu nhiên một sản phẩm. Tính xác suất để được sản phẩm tốt.

Gọi A₁ là sự kiện lấy được hộp thứ nhất, A₂ là sự kiện lấy được hộp thứ hai, vì chọn ngẫu nhiên nên p(A₁) = $\frac{1}{2}$ ; p(A₂) = $\frac{1}{2}$. Gọi B là sự kiện "sản phẩm tốt" ta có:

p(B) = $\frac{1}{2}$. $\frac{9}{10}$ + $\frac{1}{2}$.$\frac{8}{10}$= $\frac{17}{20}$= 0,85.

Thí dụ 30

Đem một cây đậu hoa trắng mang cặp gen lặn aa lai với một cây đậu hoa vàng ở thế hệ F₂ trong thí dụ 4. Gọi A₁ là sự kiện cây đậu hoa vàng ở thế hộ F₂ mang cặp gen trội, A₂ là sự kiện cây đậu hoa vàng mang cặp gen Aa. A₁ và A₂ là một hệ đầy đủ với xác suất $\frac{1}{3}$ và $\frac{2}{3}$

Gọi B là sự kiện sau khi lai được cây đậu hoa vàng.

p(B|A₁) = 1 ; p(B|A₂) = $\frac{1}{2}$

p(B) = $\frac{1}{3}$.1+$\frac{2}{3}$.$\frac{1}{2}$=$\frac{2}{3}$