Hoán vị

Thí dụ 4:

Trong thí dụ 1 có 3 khách đến mua mũ, giả sử cô bán hàng lấy cả 3 mũ và đưa lần lượt cho 3 khách, nếu khách thứ nhất nhận mũ xanh, khách thứ hai nhận mũ đỏ, khách thứ ba nhận mũ tím thì ta có kết quả (X, Đ, T), nhưng có thể cô bán hàng chọn mũ theo thứ tự khác nên kết quả là (Đ, X, T) hay (T, Đ, X), ... tất cả có 6 kết quả khác nhau.

Vì có 3 mũ lấy cả 3 nên hai kết quả chỉ khác về thứ tự đưa 3 mũ cho 3 khách hàng, chẳng khác nào để 3 mũ X, Đ, T bên cạnh nhau sau đó đổi chỗ (hoán vị) các mũ, sau mỗi lần đổi chỗ được một kết quả khác, do đó mỗi kết quả gọi là một hoán vị của 3 mũ. Nếu nói theo cách trình bày ở thí dụ 1.1 thì mỗi hoán vị ở đây chính là một chỉnh hợp chập 3 của 3 mũ.

Thí dụ 5:

Có 4 người bạn A, B, C , D đi xem văn nghệ và chọn 4 ghế ngồi cạnh nhau 7 nếu sắp A ngồi vào ghế 1, B ngồi ghế 2, C ngồi ghế 3, D ngồi ghế 4 thì có một cách sắp xếp 4 người vào 4 chỗ. Nếu đổi chỗ 2 người thì được một cách săp xếp mới, mỗi cách sắp xếp như vậy gọi là một hoán vị.

Nếu nhìn theo góc độ chỉnh hợp thì có 4 người lần lượt chọn cả 4 và thứ tự chọn chính là số ghế, như vậy mỗi hoán vị chính là một chỉnh hợp chập 4 của 4 người, dùng công thức (1.1) có số hoán vị của 4 người là 4! = 4.3.2.1 = 24.

Thí dụ 6:

Có 6 cụ ông sắp hàng ngang để tập thể dục buổi sáng, sau buổi tập đầy phấn khích các cụ quyết định từ ngày hôm sau sẽ ra tập tiếp và mỗi ngày sẽ sắp hàng theo một trật tự khác những lần tập trước. Hỏi sau bao nhiêu ngày các cụ mới quay lại cách xếp hàng đầu tiên?

Coi mỗi cách sắp hàng là một cách sắp xếp 6 cụ vào 6 chỗ, tức là một hoán vị của 6 cụ, cũng có thể coi đó là một chỉnh hợp chập 6 của 6 cụ, có thể tính được tất cả có 6! = 720 cách xếp hàng. Như vậy phải 720 ngày sau, tức là gần 2 năm sau 6 cụ mới xếp hàng lại theo đúng cách sắp hàng đầu tiên.

Tổng quát. Có n vật khác nhau được sắp xếp vào n chỗ, có n cách chọn vật thứ nhất để xếp vào chỗ thứ nhất, (n - 1) cách chọn vật thứ hai vào chỗ thứ hai, (n - k + 1) cách chọn vật thứ k để sắp vào chỗ thứ k... Mỗi cách sắp xếp được gọi là một hoán vị của n vật.

Định nghĩa. Một nhóm n vật được sắp xếp vào n chỗ, mỗi cách sắp xếp được gọi là một hoán vị. Mỗi hoán vị là một chỉnh hợp chập n của n vật.

Số hoán vị được tính theo công thức:

${A^n}_n$ = n(n - 1 ) ... 3.2.1 = n! (1.2)