Kiểm định 2 giá trị trung bình của hai biến phân phối chuẩn

Giả sử chúng ta có hai tổng thể và theo dõi một biến định lượng X nào đó, thí dụ trọng lượng sau 6 tháng nuôi của hai đàn gà, năng suất của hai giống lúa, năng suất của một giống ngô khi bón theo hai công thức phân bón khác nhau, sản lượng một loại quả khi trồng theo hai khoảng cách hàng ...

Chúng ta giả thiết biến X trên tổng thể thứ nhất (mà để dễ phân biệt ta gọi là X₁) phân phối chuẩn N($\mu$₁; $\sigma$²₁) và biến X trên tổng thể thứ hai (gọi là X₂) phân phối chuẩn N($\mu$₂; $\sigma$²₂). Để so sánh $\mu$₁ và $\mu$₂ chúng ta phải chọn mẫu. Có hai cách chọn mẫu: Chọn mẫu theo cặp và chọn mẫu độc lập.

Chọn mẫu theo cặp

Từ tổng thể thứ nhất, ta chọn một mẫu n cá thể có các giá trị x₁, x₂, ...,x_n và từ tổng thể thứ hai một mẫu cũng gồm n cá thể, có các giá trị y₁, y₂, ...,y_n, giữa hai mẫu này có mối quan hộ cặp, tức là ta có n cặp (x_i, y_i) (i = 1, n). Các cặp này hình thành do khi chọn mẫu ta đã dùng đến những quan hệ cặp như đực, cái (chọn n tổ chim sau đó bắt chim đực vào mẫu đại diện cho tổng thể chim đực, bắt chim cái vào mẫu đại diện cho tổng thể chim cái), quan hệ anh em, quan hệ trước khi dùng thuốc và sau khi dùng thuốc (cá thể được đo trước khi dùng thuốc và số liệu này đại diện cho tổng thể trước khi dùng thuốc, sau khi dùng thuốc một thời gian lại đo lại và số liệu này đại diện cho tổng thể sau khi dùng thuốc), cũng có khi các cặp này là các cặp số liệu do chúng ta bố trí thí nghiệm theo cặp: một ô ruộng (hay một chuồng) bố trí giống thử nghiệm, một ô ruộng (một chuồng) bố trí giống đối chứng.

Viết lại số liệu dưới dạng hai cột hay hai hàng, ta tính hiệu số d_i = y_i - x_i

sau đó tính giá trị trung bình d và độ lệch chuẩn s_d.

Giả thiết H₀: $\mu$₁ = $\mu$₂ đối thiết H₁: $\mu$₁$\ne$$\mu$₂ được chuyển thành

H₀: $\mu$_d = 0 đối thiết H₁: $\mu$_d$\ne$0.

Ta có cách kiểm định sau ở mức ý nghĩa $\alpha$.

Tính t thực nghiệm T_tn = $\frac{\overline{d}\sqrt{n}}{s_d}$.

Tim giá trị tới hạn t$\left(\frac{\mathrm{\alpha }}{2}, \mathrm{n}-1\right)$ trong bảng 3

Nếu $\left|{\mathrm{T}}_{\mathrm{tn}}\right|\le t\left(\frac{\alpha }{2}, n-1\right)$  thì chấp nhận H₀ nếu ngược lại thì bác bỏ H₀.

Thí dụ 1

Giá một mặt hàng phân phối chuẩn, điều tra giá của mặt hàng đó do 2 hãng sản xuất tại 11 địa điểm ta có kết quả sau:

Kiểm định giả thiết H₀: giá trung bình của hàng hoá do hai hãng sản xuất như nhau, đối thiết H₁: giá trung bình của hàng hoá do hai hãng sản xuất khác nhau. Mức ý nghĩa $\mathrm{\alpha }$ = 0,05.

$\overline{\mathrm{d}}$ = $\frac{1540}{11}$ = 140; s_d = 12,8.

T_tn = $\frac{140\sqrt{11}}{12,8}$ = 36,27; t(0,025,10) = 2,228.

Kết luận: Bác bỏ H₀, chấp nhận H₁.

Thí dụ 2

Mười cặp chó, hai con trong mỗi cặp đồng đều về mọi mặt, được chỉ định ngẫu nhiên vào hai nhóm: đối chứng (nuôi bình thường) và thí nghiệm (huấn luyện theo một chương trình đặc biệt), sau một khoá huấn luyện người ta đo một chỉ số về phản xạ và giả thiết chỉ số đó phân phối chuẩn. Hãy kiểm định giả thiết H₀: Chỉ số trung bình của hai nhóm đối chứng và huấn luyện như nhau, đối thiết H₁: Chỉ số trung bình khác nhau. Mức ý nghĩa $\mathrm{\alpha }$ = 0,05.

n=10; $\overline{d}$ = 29,7 ; s_d = 22,706.

T_tn = $\frac{29,7\sqrt{10}}{22,706}$=4,136; t(0,025, 9) = 2,262.

Kết luận: Bác bỏ H₀, chấp nhận H₁: "hai nhóm có chỉ số trung bình khác nhau".

Chọn mẫu độc lập

Từ hai tổng thể chọn ra hai mẫu độc lập, dung lượng có thê băng nhau hoặc khác nhau. Tính các thống kê $\overline{x_1}$ ; s²₁ của mẫu thứ nhất; $\overline{x_2}$ ; s²₂ của mẫu thứ hai. Để kiểm định giả thiết H₀: H₀: ${\mu }_1$ = ${\mu }_2$ với đối thiết H₁: ${\mu }_1$ $\ne$ ${\mu }_2$ ở mức ý nghĩa $\mathrm{\alpha }$, ta chia ra 3 trường hợp:

3.2.1. Biết phương sai ƠJ và ơ2 2 _ 2

+ Tính u thực nghiệm u tn =

(

+ Tim giá trị tới hạn u — trong bảng 2.

<2 y

+ Nếu I1utn I ( a ì I < u — thì chấp nhận H0, ngược lại thì bác bỏ H0.

V 2

Chiều dài cá trong hai ao phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn ƠJ = 2 cm và ơ2 = 2,2 cm; lấy mẫu 100 con của ao 1 được Xj = 8 cm; lấy mẫu 120 con của ao 2 được x2 = 8,5 cm. Hãy kiểm định giả thiết H0: m = p.2 yới đối thiết n,: Ịiị * ¡1 2 ở mức ý nghĩa a = 0,05.

Vì I Utn I = 1,7645 < 1,96 nên chấp nhận H0: "chiều dài cá trung bình trong hai ao như nhau".

3.2.2. Không biết phương sai ƠỊ2 và ơ22 mẩu lớnị Hị >30, n2 > 30).

(

+ Tim giá trị tới hạn u — trong bảng 2.

<2 y

+ Nếu I1utn I ( a ì I < u — thì chấp nhận H0, ngược lại thì bác bỏ H0.

V 2

Thí du 7

u tn = (8’5 8) = 1,7645; u(0,025) = 1,96.

- Tính utn = (X2 Xl)