Kiểm định giá trị trung bình µ của biến phân phối chuẩn N(n, ơ2)

Bài toán kiểm định H₀: $\mu$ = $\mu$₀ với đối thiết H₁: $\mu$$\ne$$\mu$₀ ở mức ý nghĩa $\alpha$ được chia thành 2 trường hợp sau:

Đã biết phương sai $\sigma$²

Đây là trường hợp khi tiến hành điều tra lại một tổng thể, người ta lấy phương sai của lần điều tra trước làm $\sigma$², hoặc việc kiểm định được tiến hành thường xuyên tại một cơ sở công nhiệp mà qua một quá trình dài đã tìm được phương sai $\sigma$² (chủ yếu phụ thuộc vào độ chính xác của các thiết bị đo lường và tay nghề của nhân viên sử dụng thiết bị).

Ta tiến hành các bước sau:

- Lấy mẫu, tính $\overline{x}$ 

- Tính giá trị U thực nghiệm U_tn = $\frac{(\overline{x} -{\mu }_0)}{{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}}$ = $\frac{(\overline{x} -{\mu }_0)\sqrt{n}}{\sigma }$ 

- Tính giá trị tới hạn u$\left(\frac{\alpha }{2}\right)$ từ bảng 3

Nếu |U_tn| (giá tri tuyệt đối của U_tn) bé hơn u$\left(\frac{\alpha }{2}\right)$ thì chấp nhận H₀ nếu ngược lại thì bác bỏ H₀, tức là chấp nhận H₁.

Thí dụ 1

Nuôi 100 con lợn theo một chế độ ăn riêng, sau 4 tháng tăng trọng trung bình là 30kg, giả thiết tăng trọng phân phối chuẩn N($\mu$, 25). Hãy kiểm định giả thiết H₀: $\mu$ = 32 đối thiết H₁: $\mu$$\ne$32 mức $\alpha$ = 0,05.

U_tn = $\frac{(30-32)\sqrt{100}}{5}$ = -4

$\left|{\mathrm{U}}_{\mathrm{tn}}\right|$ = 4; u(0,025)= 1,96.

Kết luận: Bác bỏ H₀, như vậy tăng trọng trung bình không phải là 32kg.

Thí dụ 2

Khảo sát 64 gia đình tìm được chi tiêu trung bình của mỗi gia đình là 2,03 triệu đồng/tháng. Giả sử chi tiêu của một gia đình phân phối chuẩn N($\mu$, 0,09), hãy kiểm định giả thiết H₀: $\mu$ = 2 đối thiết H₁: $\mu$$\ne$2 ở mức $\alpha$ = 0,1.

U_tn = $\frac{(2,03-2)\sqrt{64}}{0,3}$ = 0,8

$\left|{\mathrm{U}}_{\mathrm{tn}}\right|$ = 0,8; u(0,05)= 1,645.

Kết luận: Chấp nhận H₀: mức chi tiêu trung bình của một gia đình là 2 triệu đồng/ tháng.

Không biết phương sai $\sigma$²

Đây là trường hợp phổ biến khi kiểm định giá trị trung bình của phân phối chuẩn. Ta tiến hành các bước sau:

- Lấy mẫu, tính $\overline{x}$ và s².

- Tính giá trị T thực nghiệm T_tn = $\frac{(\overline{x} -{\mu }_0)\sqrt{n}}{s}$.

- Tìm giá trị tới hạn t$\left(\frac{\mathrm{\alpha }}{2}, \mathrm{n}-1\right)$ trong bảng 3.

Nếu $\left|{\mathrm{T}}_{\mathrm{tn}}\right|$ (giá trị tuyệt đối của T_tn) bé hơn t$\left(\frac{\mathrm{\alpha }}{2}, \mathrm{n}-1\right)$ thì chấp nhận H₀, nếu ngược lại thì bác bỏ H₀, tức là chấp nhận H₁.

Thí dụ 3

Trong điều kiện chăn nuôi bình thường lượng sữa trung bình của một con bò sữa là 19kg/ngày. Trong một đợt hạn, người ta theo dõi 25 con bò và được mạng sữa trung bình 17,5kg/ngày, độ lệch chuẩn s = 2,5kg. Giả thiết lượng sữa phân phối chuẩn, hãy kiểm định giả thiết H₀: $\mu$ = 19 với đối thiết $\mu$$\ne$19 ở mức $\alpha$ = 0,05.

T_tn = $\frac{(17,5-19)\sqrt{25}}{2,5}$ = - 3; $\left|{\mathrm{T}}_{\mathrm{tn}}\right|$ = 3; t(0,025; 24) = 2,061.

Kết luận: Bác bỏ H₀, như vậy trọng lượng sữa trung bình không còn là 19 kg/ngày nữa.

Thí dụ 4

Thóc được đóng trong bao 50kg. Sau một thời gian, để kiểm tra, người ta cân thử 81 bao và được trọng lượng trung bình 49,4kg/bao, độ lệch chuẩn s = 3,6kg. Giả thiết trọng lượng bao thóc phân phối chuẩn, hãy kiểm định giả thiết H₀: $\mu$ = 50 với đối thiết $\mu$$\ne$50 ở mức $\alpha$ = 0,05.

T_tn = $\frac{(49,4-50)\sqrt{81}}{3,6}$ = -1,5 ; $\left|{\mathrm{T}}_{\mathrm{tn}}\right|$ = 1,5; t(0,025; 80) = 1,99.

Kết luận: Chấp nhận H₀, như vậy vẫn coi trọng lượng trung bình của một bao thóc là 50kg.