Phân phối chuẩn (Standard Normal distribution - Gaussian distribution)

Biến ngẫu nhiên X phân phối chuẩn N($\mu$, $\sigma$²) nếu X có thể lấy mọi giá tri từ -$\infty$ đến +$\infty$ với mật đô xác suất:

f(x) = $\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\pi }}\sigma }{e}^{-\frac{{(x-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}}$
Biến X có kì vọng E(X) = $\mu$ và var(X) = $\sigma$².

Thường gặp biến phân phối chuẩn khi khảo sát các biến định lượng như chiều cao, trọng lượng, bán kính, chiều dài, ...

Biến phân phối chuẩn là biến phổ biến và đóng một vai trò quan trọng trong nghiên cứu lí thuyết xác suất thống kê.

Nếu X phân phối chuẩn N($\mu$, $\sigma$²) thì có thể chứng minh biến z = $\frac{X-\mu }{\sigma }$ cũng phân phối chuẩn với kì vọng 0 và phương sai 1.

Phân phối chuẩn N(0, 1), gọi là phân phối chuẩn tắc, có mật độ xác suất $\phi$(x) = $\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\pi }}}{e}^{-\frac{z^2}{2}}$

Phân phối này có hàm phân phối:

p(Z < z) = $\theta$(z) = $\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\pi }}}{\int }_{-\infty }^z{e}^{-\frac{t^2}{2}}dt$

Xác suất để z ở trong khoảng [a,b)

p(a $\le$ Z < b) = $\theta$(b) - $\theta$(a)

Đối với biến chuẩn N($\mu$, $\sigma$²) ta tính xác suất sau khi biến đổi từ X qua Z (phép chuẩn hoá):

p(a $\le$ X < b) = $\theta$($\frac{b-\mu }{\sigma }$) - $\theta$($\frac{a-\mu }{\sigma }$)

Các giá trị của hàm mật độ xác suất $\phi$(x) và hàm phân phối $\theta$(x) được cho ở bảng 1 và bảng 2 phần phụ lục.

Thí dụ 1

Gọi X là chiều cao của ngô tính bằng cm. Giả sử X phân phối chuẩn N(165, 9). Tính tỉ lệ cây có chiều cao:

a) Dưới 162cm;

b) Từ 162 đến 171cm;

c) Trên 171cm.

a) p(X < 162) =  $\theta$$\left(\frac{162-165}{3}\right)$ = $\theta$(-1) = 0,1587

b) p(162 $\le$ X < 171) = $\theta$$\left(\frac{171-165}{3}\right)$ - $\theta$$\left(\frac{162-165}{3}\right)$ = $\theta$(2) - $\theta$(-1) = 0,9773 - 0,1587 = 0,8186

c) p(171 < X) = 1 - $\theta$$\left(\frac{171-165}{3}\right)$ = 1 - $\theta$(2) = 1 - 0,9773 = 0,0227

Như vậy có thể kết luận:

15,87% cây ngô có chiều cao dưới 162cm.

81,86% cây ngô có chiều cao từ 162cm đến 171cm.

2,27% cây ngô có chiều cao trên 171cm.

Thí dụ 2

Thời gian sống (tuổi thọ - tính bằng giờ) X của một loại bóng đèn phân phối chuẩn N(800,40²). Tính tỉ lệ loại bóng có tuổi thọ từ 778 đến 834 giờ.

p(778 $\le$ X < 834) = $\theta$$\left(\frac{834-800}{40}\right)$ - $\theta$$\left(\frac{778-800}{40}\right)$ = $\theta$(0,85) - $\theta$(-0,55) = 0,8023 - 0,2912 = 0,5111.