Phân phối Poisson

Phân phối Poisson được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực để mô hình hóa các sự kiện xảy ra một cách ngẫu nhiên trong một khoảng thời gian hoặc không gian cố định. Dưới đây là một số ví dụ về ứng dụng của phân phối Poisson:

1. Viễn thông: Để mô hình hóa số lượng cuộc gọi đến tổng đài trong một khoảng thời gian cụ thể.
2. Hệ thống hàng chờ: Để xác định số lượng khách hàng đến quầy thanh toán trong một siêu thị trong một khoảng thời gian nhất định.
3. Sinh học: Để mô hình hóa số lượng đột biến gen xảy ra trên một đoạn DNA trong một khoảng thời gian.
4. Vận tải: Để ước tính số lượng xe cộ qua một ngã tư trong một giờ.
5. Bảo hiểm: Để ước tính số lượng yêu cầu bồi thường bảo hiểm trong một khoảng thời gian.

Biến ngẫu nhiên X phân phối Poisson nếu bảng phân phối có dạng:

p_k = $\frac{e^{-\mu }}{k!}{\mu }^k$ ($\mu$ là 1 hằng số, k = 0, ...$\infty$)

Kỳ vọng = Phương sai = M(X) = var(X) = $\mu$

Thí dụ 1

Chuyển 5000 quả trứng vào kho với xác suất vỡ của mỗi quả là 0,0004. Tính xác suất để khi vận chuyển có không quá một quả bị vỡ.

Gọi X là số quả bị vỡ, ở đây có thể dùng phân phối nhị thức nhưng vì n = 5000 quá lớn, p = 0,0004 lại quá bé nên có thể coi X phân phối xấp xỉ phân phối Poissonvới $\mu$ = np = 2 từ đó có thể tính:

Xác suất để có không quá một quả bị vỡ bằng xác suất để X = 0 (p₀) cộng xác suất để X = 1 (p₁).

p₀ = $\frac{e^{-2}.2^0}{0!}$= $\frac{1}{e^2}$; p₁ = $\frac{e^{-2}.2^1}{1!}$ = $\frac{2}{e^2}$;

p(0$\le$x$\le$1) = p₀ + p₁ = $\frac{3}{e^2}$ = 0,406

M(X) = var(X) = $\mu$ = 2

Thí dụ 2

Gieo n = 10000 hạt giống, xác suất để hạt lép là p = 0,0005. Tính xác suất để có đúng 6 hạt lép.

Lấy $\mu$ = np = 5, ta có p₆ = $\frac{e^{-2}.5^6}{6!}$