Quy tắc cộng và nhân xác suất

Sau khi tính xác suất của các sự kiện tương đối đơn giản, chúng ta xem xét các sự kiện phức tạp hơn. Để làm được việc này, ta xét một số phép tính trên các sự kiện.

Gọi A và B là hai sự kiện xác định trên tập hợp các sự kiện sơ cấp Ω (e₁, e₂, ... , e_n).

Hội của hai sự kiện A và B kí hiệu A∩B là sự kiện bao gồm các sự kiện sơ cấp vừa của sự kiện A, vừa của sự kiện B. (Hội A∩B còn được gọi là sự kiện "A và B" hoặc giao của A và B).

Khi tiến hành phép thử nếu kết quả là một trong các sự kiện sơ cấp nói trên thì cả A cả B đều xảy ra (xuất hiện). Như vậy hội của hai sự kiện A, B là sự kiện "cả A và B đều xảy ra".

Thí dụ 6

Gieo một xúc xắc, sự kiện A "ra số chẵn" và sự kiện B "ra một số chia được cho 3" có hội là sự kiện sơ cấp "ra mặt 6", nói cách khác nếu kết quả vừa là số chẵn (có sự kiện A) vừa là số chia được cho 3 (có sự kiện B) thì hội A∩B là sự kiện "ra mặt 6".

Thí dụ 7

Gọi A là sự kiện người đại diện của tổ là người được xếp loại giỏi vé học tập, B lằ sự kiện người đại diện của tổ là người biết chơi bóng chuyển thì A ∩ B là sự kiện người đại diện của tổ là người vừa học giỏi vừa biết chơi bóng chuyền.

Sự kiện đối lập của sự kiện A, kí hiệu , là sự kiện bao gồm các sụ kiện sơ cấp trong Ω nhưng không thuộc A.

Thí dụ 8

Gieo một xúc xắc nếu gọi A là sự kiện "ra mặt chẵn" thì sự kiện đối lập  là sự kiện "ra mặt lẻ".

Thí dụ 9

Khi thi thì sự kiện A "thi đỗ" có sự kiện đối lập A là "thi trượt". Hai sự kiện A và B xung khắc nếu hội của chúng rỗng A ∩ B = Ø

Khi tiến hành phép thử hai sự kiện xung khắc không có sự kiện sơ cấp chung nào nên không thể xuất hiện đồng thời.

Thí dụ 10

Sự kiện A "ra mặt chẵn" và sự kiện C "ra mặt lẻ" là 2 sự kiện xung khắc khi gieo xúc xắc.

Thí dụ 11

Sự kiện A" ra mặt chẵn " và sự kiện B "ra một số chia được cho 3" không xung khắc.

Thí dụ 12

Nếu trong hộp có 3 loại bi màu trắng, màu xanh, màu đỏ thì sự kiện rút được bi xanh và sự kiện rút được bi đỏ là 2 sự kiện xung khắc nhưng khổng đối lập.

Thí dụ 13

Khi thi thì sự kiện A "đạt điểm giỏi" và sự kiện B " đạt điểm khá" là hai sự kiện xung khắc, nhưng không đối lập, vì còn nhiểu điểm khác.

Sự kiện A và sự kiện C "trên trung bình" không xung khắc.

Qua các thí dụ trên ta thấy đối lập là trường hợp riêng của xung khắc. Đối lập thì xung khắc nhưng xung khắc chưa chắc đã đối lập.

Hợp của hai sự kiện A và B, kí hiệu A∪B , là sự kiện bao gồm tất cả các sự kiện sơ cấp của sự kiện A và sự kiện B.

Khi tiến hành phép thử thì sự kiện A∪B xuất hiện khi có ít nhất một trong hai sự kiện A và B xuất hiện.

Nếu phân tích kĩ có thể thấy có ba trường hợp: A xuất hiện nhưng B không xuất hiện ( A∩ ), B xuất hiện nhưng A không xuất hiện (∩B), cả A và B đều xuất hiện (A∩B).

Hợp A∪B còn được gọi là sự kiện "A hoặc B”.

Thí dụ 14

Khi gieo xúc xắc nếu gọi A là sự kiện "ra mặt chẵn ", B là sự kiện "ra một số chia hết cho 3" thì sự kiện A∪B gồm bốn sự kiện sơ cấp (2, 3, 4, 6).

Thí dụ 15

Trong thí dụ 12, khi rút bi trong hộp nếu gọi A là sự kiện rút được bi trắng thì sự kiện đối lập  là sự kiện rút được bi xanh hoặc bi đỏ   = B∪C.

Quy tắc cộng đơn giản

Ta thừa nhận quy tác cộng đơn giản sau đây:

Thực vậy, p(A∪B) = p(A) + p(B) nếu A và B xung khắc (2.4)

Hệ quả: Gọi A là sự kiện đối lập của sự kiện A, ta có:

p() = 1 - p(A) (2.5)

Thực vậy, A∪ = Ω; p (A∪ ) = p(A) + p() = p(Ω) = 1

p() = 1 - p(A).

Thí dụ 16

Trong hộp có 3 bi trắng, 4 bi xanh và 5 bi đỏ, gọi A là sự kiện rút được bi trắng, B là sự kiện rút được bi xanh, C là sự kiện rút được bi đỏ, là sự kiện "bi rút ra không phải bi trắng", B∪C là sự kiện "rút được bi xanh hoặc bi đỏ"

Ta có: 

p(A) = $\frac{3}{12}$; p(B) = $\frac{4}{12}$; p(C) = $\frac{5}{12}$.

p() = $1 - \frac{3}{12} = \frac{9}{12}$.

Vì  = B∪C nên suy ra p(B∪C) = $\frac{9}{12}$

Cũng có thể tính theo quy tắc cộng đơn giản:

p(B∪C) = p(B) + p(C) = $\frac{4}{12}$ + $\frac{5}{12}$ = $\frac{9}{12}$.

Thí dụ 17

Trong kì thi quy định "điểm giỏi" là điểm trên 8 (không cho điểm lẻ). Một học sinh vào thi, A là sự kiện "đạt điểm 10", B là sự kiện "đạt điểm 9". Giả sử với em đó xác suất p(A) = 0,3, p(B) = 0,4.

Gọi C là sự kiện "đạt điểm giỏi", C là hợp của A và B

p(C) = p(A∪B) = p(A) + p(B) = 0,3 + 0,4 = 0,7.

Thí dụ 18

70% sản phẩm của xí nghiệp thuộc loại I, 20% thuộc loại II, số còn lại thuộc loại III.

Khi kiểm tra để xuất khẩu thì chỉ chấp nhận sản phẩm loại I hoặc II.

Gọi A là sự kiện khi kiểm tra thì sản phẩm thuộc loại I. B là sự kiện khi kiểm tra thì sản phẩm thuộc loại II.

C là sự kiện khi kiểm tra thì sản phẩm được chấp nhận cho xuất khẩu. p(C) = p(A∪B) = 0,7 + 0,2 = 0,9

Xác suất có điều kiện

Xét một phép thử được tiến hành trong một điều kiện đầu nào đó và hai sự kiện A, B.

Xác suất có điểu kiện p(B|A) là xác suất của B khi đã xảy ra sự kiện A.

Có thể coi như B được tính khi phép thử được tiến hành trong điéu kiện đầu mới gồm điều kiện đầu cũ cộng thêm sự xuất hiện (có mặt) sự kiện A.

Thí dụ 19

Lấy lại thí dụ 16 p(A) = $\frac{3}{12}$; p(B) = $\frac{4}{12}$. Nếu bây giờ biết bi lấy ra không phải bi trắng (sự kiện ) thì p(B|) = $\frac{4}{9}$ trong thí dụ này p(B|) ≠ p(B).

Thí dụ 20

Gọi A là sự kiện rút được con bích, B là sự kiện rút được con át trong cỗ bài tu lơ khơ 52 quân với 4 loại: cơ, rô, chuồn, bích.

p(A) = $\frac{13}{52}$ ; p(B) = $\frac{4}{12}$ = $\frac{1}{13}$.

Nếu biết con bài rút ra là con pích (sự kiện A) thì xác suất rút được con át

p(B|A) = $\frac{1}{13}$.

Trong thí dụ này p(B) = p(B|A).

Thí dụ 21

Lấy lại thí dụ 4 về cây đậu ở thế hệ F2. Gọi B là sự kiện đậu hoa vàng p(B) = $\frac{3}{4}$.

Nếu gọi A là sự kiện cây đó mang 1 gen trội A, một gen lặn a (kiểu dị hợp tử) thì p(B|A) = $\frac{2}{3}$.

Quy tắc nhân xác suất

Nếu A và B là hai sự kiện trong một phép thử ta thừa nhận quy tác nhân sau:

p(A∩B ) = p(A).p(B|A) = p(B).p(A|B) (2.6)

Thí dụ 22

Trong hộp có 10 phiếu, 2 phiếu ghi "trúng thưởng". Một người rút lần lượt 2 phiếu, tính xác suất để cả 2 phiếu đều trúng thưởng. Gọi A là sự kiện phiếu đầu trúng thưởng, B là sự kiện phiếu thứ hai trúng thưởng, C là sự kiện 2 phiếu đều trúng thưởng. Có thể tính như sau:

Khi rút phiếu đầu có 10 phiếu trong đó có 2 phiếu trúng p(A) = $\frac{2}{10}$.

Khi đã xảy ra A thì còn lại 9 phiếu trong đó có 1 phiếu trúng do đó p(B|A) = $\frac{1}{9}$.

Từ đó suy ra:

p(C) = p(A∩B) = $\frac{2}{10}$ x $\frac{1}{9}$ = $\frac{1}{45}$.

Thí dụ 23

Sản phẩm trước khi xuất khẩu phải qua hai lần kiểm tra, bình quân 80% sản phẩm làm ra qua được lần kiểm tra I, 90% sản phẩm qua kiểm tra I và qua được kiểm tra II. Gọi A là sự kiện qua được kiểm tra I, B là sự kiện qua được kiểm tra II, C là sự kiện đạt tiêu chuẩn xuất khẩu.

P(A) = 0,8; p(B|A) = 0,9.

P(C) = p(A ). p(B|A) = 0,8 x 0,9 = 0,72.

Sự kiện độc lập

Nếu sự kiện B có xác suất có điều kiện p(B|A) bằng xác suất p(B) thì B được gọi là sự kiện không phụ thuộc sụ kiện A.

Có thể chứng minh ngay nếu B không phụ thuộc A thì A không phụ thuộc B. Thực vậy theo quy tắc nhân tổng quát:

P(A∩B) = p(A). p(B|A) = p(B).p(A|B)

Nếu p(B|A) = p(B) thì thay vào hệ thức trên suy ra p(A|B) = p(A), tức là A không phụ thuộc B. Qua chứng minh này chúng ta thấy tính phụ thuộc là tương hỗ nên sẽ thay thuật ngữ "không phụ thuộc" bằng thuật ngữ "độc lập".

Hai sự kiện A, B trong cùng một phép thử gọi là độc lập khi p(A|B) = p(A) (hoặc p(B|A) = p(B)).

Nếu A và B độc lập thì có thể chứng minh A và độc lập, và B độc lập, và độc lập.

Trong thực tế nếu hai sự kiện A và B trong cùng một phép thử không ảnh hưởng đến nhau thì thường thừa nhận tính độc lập.

Quy tắc nhân đơn giản

Nếu A và B độc lập thì từ quy tắc nhân (2.6) suy ra quy tắc nhân đơn giản sau:

p(A∩B ) = p(A)p(B) (2.7)

Thí dụ 24

Hai người đi bắn, xác suất để người thứ nhất bắn trúng đích là p(A) = 0,7, xác suất để người thứ hai bắn trúng đích là p(B) = 0,8.

Xác suất để cả hai người bắn trúng

p(A∩B) = 0,7 . 0,8 = 0,56.

Thí dụ 25

Sản phẩm mới làm ra phải gửi đi kiểm nghiệm ở hai phòng thí nghiệm độc lập. Nếu cả hai phòng chấp nhận thì sản phẩm được sản xuất đại trà.

Xác suất để sản phẩm được phòng thí nghiệm A chấp nhận là 0,8. Xác suất để được phòng thí nghiệm B chấp nhận là 0,9. Vậy xác suất để sản phẩm được đem ra sản xuất đại trà là 0,8 . 0,9 = 0,72.

Quy tắc cộng tổng quát

Nếu A và B là hai sự kiện trong một phép thử thì có thể chứng minh quy tắc cộng tổng quát sau:

p(A∪B) = p(A) + p(B) - p(A∩B) (2.8)

Nếu A và B xung khắc thì p(A∩B) = 0 nên (2.8) trùng với quy tắc cộng đơn giản (2.4).

Thí dụ 26

Trong thí dụ 24 nếu gọi C là sự kiện đích bị bắn trúng thì C = A∪B

p(C) = p(A∪B) = 0,7 + 0,8 - 0,56 = 0,94.

Có thể tính cách khác:

p(C) = p(A∩) + p(∩B) + p(A∩B)

P(C) = 0,7 . 0,2 + 0,3 . 0,8 + 0,7 . 0,8 = 0,14 + 0,24 + 0,56 = 0,94.

Thí dụ 27

Trong thí dụ 25, gọi c là sự kiện "có phòng thí nghiệm chấp nhận sản phẩm mới"

C = A∪B

p(C) = 0,8 + 0,9 - 0,8.0,9 = 0,98

Có thể lập luận như sau: C là sự kiện đối lập của sự kiện "cả hai phòng thí nghiệm đều không chấp nhận sản phẩm mới":

p(C) = 1- p(∩) = 1 - 0,2 X 0,1 = 0,98