Tính gần đúng phân phối nhị thức

Trong  phân phối nhị thức. Khi số phép thử n lớn thì việc tính xác suất của sự kiện (X = k) và việc tính cả bảng phân phối là việc làm tốn rất nhiều công.

Để tính gần đúng phân phối nhị thức ta xét hai trường hợp:

n lớn và p không quá bé (thường xem xét n > 30; np > 5)

Có thể tính xấp xỉ phân phối nhị thức B(n, p) bằng phân phối chuẩn N($\mu$, $\sigma$²) với $\mu$ = np, $\sigma$²= npq

Việc tính gần đúng thể hiện ở hai dạng (Gọi là định lí Laplace):

a) Xác suất p_k = p(X = k) = C^k_np^kq^n-k $\approx$ $\frac{1}{\sqrt{npq}}\phi \left(z\right)$ với z = $\frac{(x-np)}{\sqrt{npq}}$

b) Xác suất p(k $\le$ X < l) = $\sum _k^l$p_i = $\theta$$\left(\frac{l-np}{\sqrt{npq}}\right)$ - $\theta$$\left(\frac{k-np}{\sqrt{npq}}\right)$

n rất lớn và p quá bé (thường xem xét n $\ge$ 100, p quá bé sao cho np $\approx$ npq)

Trong trường hợp này vẫn có thể dùng xấp xỉ chuẩn như ở trên nhưng dùng xấp xỉ Poission được kết quả tốt hơn. Nội dung xấp xỉ này như sau:

Khi n rất lớn và p rất bé ta tính $\mu$ = np và

pk = P(X = k) $\approx$ $\frac{e^{-\mu }{\mu }^k}{k!}$

Thí dụ 1
Một bệnh có xác suất chữa khỏi là 0,2. Có 100 người bệnh, tính xác suất để 21 người khỏi bệnh.

Gọi X là số người khỏi bệnh, X phân phối nhị thức B(100, 0,2).

p₂₁ = p(X = 21) = C²¹₁₀₀0,2²¹0,8⁷⁹ $\approx$$\frac{1}{4}\phi \left(z\right)$

np = 100. 0,2 = 20; npq =100. 0,2. 0,8 = 16; z = $\frac{21-20}{4}$ = 0,25

$\phi$(0,25) = 0,3867; p₂₁ $\approx$0,0967

Thí dụ 2

Có 80 câu hỏi trắc nghiệm, mỗi câu có 4 cách trả lời, trong đó có một cách đúng. Một học sinh trả lời kiểu hú hoạ.

a) Tính xác suất để trả lời đúng 24 câu.

b) Tính xác suất để số câu trả lời đúng nhiều hơn 30.

Mỗi lần trả lời là một phép thử có xác suất thành công (trả lời đúng) p = 0,25, trả lời 80 câu coi như lặp lại 80 lần phép thử, số câu trả lời đúng X phân phối nhị thức B(80, 0,25)

np = 80.0,25 = 20; npq = 80.0,25.0,75 = 15; z = $\frac{20-24}{\sqrt{15}}$ = 1,0328.

a) p₂₄ = P(X = 24) = C²⁴₈₀0,25²⁴0,75⁵⁶ $\approx$ $\frac{1}{3,87}$$\phi$(1,0328) = 0,062. 

b) p(30 $\le$ X) $\approx$ 1 - $\theta$$\left(\frac{30-20}{\sqrt{15}}\right)$ = 1 - $\theta$(2,58) = 1 - 0,995 = 0,005.

Thí dụ 3

Một công nhân phụ trách 1000 ống sợi, xác suất để một ống bị đứt trong thời gian T là 0,002. Tính xác suất để trong thời gian đó có 3 ống sợi bị đứt.

Sự kiện một ống sợi bị đứt trong thời gian T có xác suất p = 0,002. Số ống bị đứt X trong số 1000 ống phân phối nhị thức B(1000, 0,002) và được tính xấp xỉ theo phân phối Poission.

n = 1000; p = 0,002; $\mu$ = np = 2

p(X = 3) = C³₁₀₀₀0,0002³0,998⁹⁹⁷ $\approx$$\frac{e^{-2}}{3!}{2}^3$ = 0,13534.$\frac{8}{6}$ = 0,18