Tổ hợp

Thí dụ 7:

Trong thí dụ 1, cô bán hàng chọn 2 trong 3 mũ, có thể có 3 cách chọn: một xanh một đỏ, một xanh một tím, một đỏ một tím. Gọi mỗi cách là một tổ hợp chập 2 của 3 mũ. Sau khi chọn xong thì có 2 cách đưa cho hai khách tức là có 2 chỉnh hợp chập 2. Thí dụ chọn tổ hợp (X, Đ) thì có thể đưa mũ xanh cho khách thứ nhất, đưa mũ đỏ cho khách thứ hai hay đổi chỗ (hoán vị) hai mũ, đưa mũ đỏ cho khách thứ nhất đưa mũ xanh cho khách thứ hai. Như vậy ta có hệ thức:

3 (tổ hợp chập 2 của 3 mũ) x 2 (hoán vị của 2 mũ) = 6 (chỉnh hợp chập 2 của 3 mũ).

Thí dụ 8:

Trong thí dụ 2 chọn một nhóm 3 người trong 10 tổ viên, gọi đó là một tổ hợp chập 3 của 10 người. Sau khi chọn xong mới sắp xếp 3 người vào 3 công việc: (nhóm trưởng, phụ trách chỉ tiêu kinh tế, phụ trách chỉ tiêu kĩ thuật), tất cả có 3! = 6 cách sắp xếp. Mỗi cách sắp xếp là một hoán vị của 3 người và là một chỉnh hợp chập 3 của 10 người, ta có hệ thức:

Số tổ hợp chập 3 của 10 người x 3! hoán vị = Số chỉnh hợp chập 3 của 10 người.

Thí dụ 9:

Trong thí dụ 3 người ta đưa ra một dự báo chung về 3 đội đoạt huy chương, mỗi dự báo như vậy là một tổ hợp chập 3 của 8 đội. Sau khi có dự báo chung như thế nếu ghi cụ thể đội nào trong 3 đội được huy chương vàng, đội nào được huy chương bạc, đội nào được huy chương đồng thì được một dự báo cụ thể, mỗi dự báo cụ thể là một chỉnh hợp chập 3 của 8 đội. Ta có hệ thức:

Số tổ hợp chập 3 của 8 đội x 3! hoán vị = Số chỉnh hợp chập 3 của 8 đội.

Tổng quát. Có n vật khác nhau, lấy ra một nhóm k vật, gọi một nhóm như vậy là một tổ hợp chập k của n vật. Hai tổ hợp khác nhau nếu có ít nhất một vật khác nhau, như vậy khác với chỉnh hợp ở đây ta không chú ý đến thứ tự của các vật trong nhóm. Khi lấy k vật ta có thể lấy một lúc hoặc lấy lần lượt nhưng không chú ý đến thứ tự của các vật được lấy ra.

Sau khi có một tổ hợp nếu đổi chỗ k vật thì được k! hoán vị khác nhau, mỗi hoán vị là một chỉnh họp chập k, như vậy mỗi tổ hợp chập k có thể "sinh" ra k! chỉnh hợp chập k.

Định nghĩa. Một nhóm k vật lấy ra từ n vật khác nhau gọi lờ một tổ hợp chập k của n vật.

Số tổ hợp chập k của n vật kí hiệu là ${C^k}_n$ được tính theo công thức:

${C^k}_n$= $\frac{{A^k}_n}{k!}$(1.3)